Menganalisis titik, garis dan bidang pada Geometri Dimensi Tiga

Geometri Dimensi Tiga 

3.23 Menganalisis titik, garis dan bidang pada geometri dimensi tiga

4.23 Menyajikan penyelesaian masalah yang berkaitan dengan jarak antara titik ke titik, titik ke garis dan garis ke bidang pada geometri dimensi tiga

PEGERTIAN TITIK, GARIS DAN BIDANG

a. Titik

Suatu   titik   ditentukan   oleh   letaknya   dan   tidak   mempunyai   besaran.   Sebuah   titik dilukiskan dengan noktah dan biasanya dinotasikan dengan huruf  kapital

Contoh 1:

• A [titik A]
• B [titik B]
  

Contoh 2:
Lihat Kubus ABCD.EFGH di samping. Titik-titik pada kubus ABCD.EFGH tersebut adalah: A, B, C, D, E, F, G, dan H

 

b. Garis 

Garis adalah himpunan dari titik-titik yang mempunyai panjang tak terhingga  tapi tidak memiliki lebar atau panjang.

Contoh : Lihat kubus ABCD.EFGH  di samping, garis-garis pada kubus ABCD.EFGH antara lain: AB, CG, BG (diagonal sisi), AG (diagonal ruang)

c. Bidang 

Bidang  adalah  himpunan titik-titik yang luas tak  terhingga.  Wakil  bidang adalah bagian dari bidang yang memiliki ukuran panjang dan lebar.

Contoh:    Pada   bidang   kubus ABCD.EFGH

• Bidang ABCD
• Bidang  DCGH
• Bidang BDG

Demikian konsep titik, garis dan bidang. Dari pengertian titik, garis, dan bidang akan memunculkan aksioma atau postulat tentang titik, garis dan bidang yaitu:

1. Melalui dua buah titik sembarang yang tidak berimpit hanya dapat dibuat sebuah garis lurus.
2. Melalui satu titik dan garis yang tidak melewati titik tersebut dapat dibuat sebuah bidang.
3. Melalui dua buah garis sejajar atau garis yang saling berpotongan dapat dibuat sebuah bidang. 
4. Jika suatu garis dan suatu bidang mempunyai dua titik persekutuan, maka garis itu seluruhnya terletak pada bidang

KEDUDUKAN  TITIK TERHADAP GARIS DAN BIDANG 

a. Kedudukan  titik terhadap garis 

Kedudukan titik terhadap garis dibedakan menjadi dua yaitu titik terletak pada garis dan titik terletak di luar garis. Kedudukan titik terletak pada garis dan titik terletak di luar garis dapat dianalogikan seperti burung yang hinggap di kabellistrik,   seperti   gambar   disamping.Sekarang   coba   perhatikangambar di samping. Gambar tersebut merupakan segerombolanburung yang hinggap di kabel listrik. Misalkan burung-burungtersebut  adalah sebuah  titik  dan  kabel  tersebut  merupakan garis, maka   burung  yanghinggap di kabel listrik (dilingkari merah) dapat dikatakan sebagai titik terletak pada garis.Jadi, sebuah titik dikatakan terletak pada garis, jika titik tersebut dapat dilalui oleh garis,seperti gambar di bawah ini

Read More

Logika Matematika

Kompetensi Inti :

Memahami, menerapkan, menganalisis, dan mengevaluasi tentang pengetahuan faktual, konseptual, prosedural, dan metakognitif sesuai dengan bidang dan lingkup kajian Matematika pada tingkat teknis, spesifik, detil, dan kompleks, berkenaan dengan ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya, dan humaniora dalam  konteks  pengembangan  potensi  diri  sebagai  bagian  dari  keluarga, sekolah, dunia kerja, warga masyarakat

Kompetensi Dasar:

3.22 Menganalisis masalah kontekstual yang berkaitan dengan logika matematika (pernyataan sederhana, negasi pernyataan sederhana, pernyataan majemuk, negasi pernyataan majemuk dan penarikan kesimpulan)

4.22 Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan logika matematika (pernyataan sederhana, negasi pernyataan sederhana, pernyataan majemuk , negasi pernyataan majemuk dan penarikan kesimpulan )

Gambaran Umum Materi

Pada dasarnya, logika matematika adalah sebuah ilmu yang menggabungkan prinsip ilmu logika dan pembuktian dalam matematika. Dalam materi ini, jelas kekuatan ilmu logika dan ilmu matematika disandingkan dengan seimbang.

Materi logika matematika pertama kali muncul sebagai ilmu independen pada pertengahan abad ke 19. Sebelumnya, materi ini dipelajari melalui ilmu retorika, silogisme, dan sebagai bagian dari ilmu filsafat. Setelahnya, beberapa ilmuwan matematika besar, semisal George Boole, Augustus De Morgan, dan George Peacock mencoba mengembangkan materi ini.

Materi pertama yang akan kamu temui dalam materi logika matematika adalah konjungsi & disjungsi. Konjungsi adalah dua buah penyataan majemuk yang dihubungkan dengan kata hubung “dan”, yang simbolkan dengan lambang “∧”, sedangkan disjungsi adalah dua buah pernyataan majemuk yang dihubungkan dengan kata hubungan “atau”, yang disimbolkan dengan “∨”.

Materi kedua, Implikasi didefinisikan sebagai sebuah konsep kesesuaian. Dalam hal ini, kamu membandingkan dan menyesuaikan dua penyataan sehingga terbentuk sebuah kesimpulan dari kedua pernyataan tersebut. Implikasi memiliki makna ‘jika… maka…’ yang dilambangkan dengan simbol “→”.

Materi ketiga, Biimplikasi merupakan sebuah pernyataan ketika kedua pernyataan memiliki nilai sama-sama benar atau sama-sama salah. Biimplikasi adalah sebuah bentuk penyataan yang bermakna “jika dan hanya jika”. Biimplikasi disimbolkan dengan tanda “↔”.

Selain ketiga materi di atas, kamu juga akan mempelajari mengenai konvers, invers, kontraposisi di dalam logika matematika. Konvers merupakan sebuah pernyataan yang merupakan kebalikan dari implikasi, dimana letak dari pernyataan juga berubah, misalnya p → q menjadi q → p.

Pada dasarnya, logika matematika merupakan sebuah materi yang cukup mudah untuk kamu pahami. Hanya saja, kamu perlu terus berlatih untuk menghafal tabel dan rumus logika matematika, serta menerapkannya dalam contoh soal logika matematika. Semakin kamu giat berlatih, semakin kamu mendapatkan banyak manfaat dalam materi ini.

Daftar Isi:

• Pernyataan
• Ingkaran
• Konjungsi & Disjungsi
• Implikasi
• Biimplikasi
• Konvers, Invers, Kontraposisi
• Penarikan Kesimpulan

Pernyataan

Pada dasarnya, pernyataan merupakan suatu kalimat yang bernilai benar ataupun salah, namun tidak keduanya. Sedangkan, suatu kalimat dikatakan bukan pernyataan jika kita tidak dapat menentukan apakah kalimat tersebut benar atau salah atau mengandung pengertian relatif. Di dalam logika matematika terdapat dua jenis pernyataan, yaitu pernyataan tertutup dan pernyataan terbuka. Pernyataan tertutup merupakan pernyataan yang sudah bisa dipastikan nilai kebenarannya sedangkan pernyataan terbuka yaitu pernyataan yang belum bisa dipastikan nilai kebenarannya.

Contoh:

8 + 2 = 10 (pernyataan tertutup yang bernilai benar)

4 × 6 = 20 (pernyataan tertutup yang bernilai salah)

5a + 10 = 40 (pernyataan terbuka, karena harus dibuktikan kebenarannya)

Jarak Jakarta-Bogor adalah dekat (bukan pernyataan, karena dekat itu relatif)

Ingkaran atau Negasi (~)

Ingkaran dan Negasi adalah kebalikan dari suatu pernyataan, misalnya jika suatu pernyataan bernilai benar, maka negasinya bernilai salah dan begitu pula jika suatu pernyataan bernilai salah maka negasinya bernilai benar

Contoh:

p : Semua murid lulus ujian

~p : Ada murid yang tidak lulus ujian

Pernyataan Majemuk

Pernyataan majemuk merupakan pernyataan gabungan dari beberapa pernyataan tunggal yang dihubungkan dengan kata hubung. Pernyataan majemuk di dalam logika matematika terdiri dari disjungsi , konjungsi , implikasi , dan biimplikasi.

Konjungsi (^)

Konjungsi adalah benar hanya jika kedua pernyataan bernilai benar. Pernyataan akan salah jika salah satu atau keduanya beenilai salah. Dua pernyataan dalam konjungsi digabungkan dengan tanda ” ^ ” yang berarti ” dan “.

Dari tabel disamping dapat disimpulkan bahwa dalam konsep konjungsi akan bernilai benar jika dan hanya jika kedua pernyataan (p dan q) benar

Contoh:

Budi sudah  belajar dan makan

Misalkan, untuk dapat diizinkan bermain oleh Ibu, Budi harus memenuhi kondisi di atas. Jika satu saja atau bahkan kedua pernyataan tersebut dilanggar, maka Budi tidak diizinkan untuk bermain.

Disjungsi (v)

Disjungsi adalah apabila salah satu dari dua pernyataan merupakan benar, maka hasilnya benar. Namun jika keduannya salah, maka pernyataan dianggap salah. Dua pernyataan dalam disjungsi digabungkan dengan tanda ” v ” yang berarti ” atau “. 

Dari tabel disamping dapat disimpulkan bahwa dalam konsep disjungsi hanya akan bernilai salah jika kedua pernyataan (p dan q) salah.

Contoh:

Bandung atau Palembang adalah kota yang terletak di Pulau Jawa

Pernyataan Bandung adalah kota yang terletak di Pulau Jawa adalah benar. Pernyataan Palembang adalah kota yang terletak di Pulau Jawa adalah salah. Sehingga pernyataan Bandung atau Palembang adalah kota yang terletak di Pulau Jawa bernilai benar.

Implikasi (=>)

Implikasi adalah konsep penyesuaian yang hanya dinyatakan salah jika pernyataan pertama benar dan pernyataan kedua salah. Dua pernyataan dalam implikasi digabungkan dengan tanda ” => ” yang berarti ” maka “.

Dari tabel disamping  dapat disimpulkan bahwa dalam konsep implikasi akan bernilai salah jika dan hanya jika sebab bernilai benar namun akibat bernilai salah. Selain itu implikasi bernilai benar.

Contoh:

Jika Budi sembuh maka Budi akan sekolah

Jika betul Budi sembuh lalu Budi masuk sekolah, Budi telah melakukan hal yang benar. Namun jika Budi sembuh namun dia tidak masuk sekolah, Budi telah berbuat salah karena mengingkari janjinya. Lalu, bagaimana jika Budi belum sembuh? Perhatikan bahwa Budi hanya berjanji masuk sekolah jika dia sembuh. Akibatnya jika dia masih belum sembuh, tidak masalah bagi Budi untuk masuk sekolah ataupun tidak karena dia tidak melanggar janjinya.

Biimplikasi (<==>)

Biimplikasi adalah pernyataan yang hanya akan menyatakan benar apabila kedua pernyataan bernilai sama,baik benar maupun salah. Maksudnya adalah pernyataan dianggap benar jika keduanya sama-sama salah ataupun sama-sama benar. Dua penyataan dalam biimplikasi digabungkan dengan tanda ” <==> ” yang berarti ” hanya jika “.

Dari tabel disamping dapat disimpulkan bahwa dalam konsep biimplikasi akan bernilai benar jika sebab dan akibatnya (pernyataan p dan q) bernilai sama. Baik itu sama-sama benar, atau sama-sama salah.

Contoh:

Ayah mendapatkan gaji jika dan hanya jika ayah bekerja

Jika ayah mendapatkan gaji maka ayah bekerja dan jika ayah telah bekerja maka ayah akan mendapat gaji. Sebalinya, jika ayah tidak mendapatkan gaji maka ayah sedang tidak bekerja dan jika ayah tidak bekerja maka ayah tidak akan mendapat gaji. 

Konvers, Invers, Kontraposisi

Setiap manusia pasti berpikir menggunakan logika, sehingga saat menghadapi persoalan apapun dapat dengan mudah menemukan jalan keluarnya. Tapi tahukah kamu, logika itu bekerja secara matematis?  Ada lho rumus-rumusnya dalam ilmu matematika. 

Konvers , Invers & Kontraposisi ketiganya dapat mengubah pernyataan implikasi, yaitu pernyataan majemuk dengan kata hubung "jika..., maka...". 

1. Konvers

Konvers merupakan kebalikan dari pernyataan implikasi. Rumusnya seperti disamping ini: 

Contoh kasus:

Implikasi: Jika Aura rajin baca buku, maka Aura cerdas.

Konvers: Jika Aura cerdas, maka Aura rajin baca buku.

Jadi, kalau orang tua kita bilang “Nak, kamu harus rajin baca buku biar kamu cerdas.” Berarti logikanya, orang tua kita ingin kita jadi anak yang cerdas, maka disuruh rajin baca buku. 

2. Invers

Invers merupakan negasi dari pernyataan implikasi. Rumusnya nampak disamping

Contoh kasus:

Implikasi: Jika Aura rajin baca buku, maka Aura cerdas.

Invers: Jika Aura tidak rajin baca buku, maka Aura tidak cerdas.

Paham kan perbedaan invers dengan konvers? Jadi, invers itu adalah logika yang menegasikan sebuah pernyataan implikasi. 

3. Kontraposisi

Kontraposisi merupakan kebalikan dan negasi dari pernyataan implikasi. berikut rumusnya: 

Contoh Kasus:

Implikasi: Jika Aura rajin baca buku, maka Aura cerdas.

Kontraposisi: Jika Aura tidak cerdas, maka Aura tidak rajin baca buku.

Paham kan ya, kalau kontraposisi itu gabungan antara konvers dan invers. Jadi, pernyataan majemuknya kita balik lalu dinegasikan. Mudah, bukan?

Penarikan Kesimpulan

Belajar Menarik Kesimpulan dengan Logika Matematika 

Menarik kesimpulan juga harus menggunakan logika, biar kesimpulan yang kamu ambil tepat. Logika sendiri merupakan cabang ilmu filsafat yang berarti hasil pertimbangan akal pikiran yang diutarakan lewat kata dan dinyatakan dalam bahasa. Dalam logika kita perlu melakukan proses penalaran yang ditinjau dari segi ketepatannya. Ada beberapa cara untuk menarik kesimpulan dengan logika matematika;

Modus Ponens

Modus ponens ditandai dengan adanya pernyataan majemuk implikasi dan pernyataan tunggal.      

         

Modus Tollens

Modus tollens ditandai dengan adanya pernyataan majemuk implikasi dan ingkaran dari pernyataan tunggal.

Modus Silogisme

Modus silogisme ditandai dengan adanya dua pernyataan majemuk implikasi.

Masih belum paham bagaimana menarik kesimpulan dengan logika matematika? 

Latihan

Premis 1: Jika semua harta benda Andi terbawa banjir, maka ia menderita.

Premis 2: Andi tidak menderita.

Kesimpulan yang sah dari premis-premis tersebut adalah…

A. Semua harta benda Andi tidak terbawa banjir.

B. Ada harta benda Andi yang terbawa banjir.

C. Semua harta benda Andi terbawa banjir.

D. Ada harta benda Andi yang tidak terbawa banjir.

E. Tidak ada banjir.

Pembahasan:

Dengan menggunakan modus tollen.

Premis 1: p => q

Premis 2: ~q

Konklusi: ~p

Jawaban: ~p = ada harta benda Andi yang tidak terbawa banjir (D).

Daftar Referensi:

• referensi 1
• referensi 2

Read More

PERSAMAAN LINGKARAN

Persamaan Lingkaran

Selamat datang, untuk mulai belajar rumus & contoh soal persamaan lingkaran.

• Lingkaran dengan Pusat (0, 0)
• Lingkaran dengan Pusat (a, b)
• Bentuk Umum Lingkaran
• Posisi Titik terhadap Lingkaran
• Persamaan Garis Singgung Lingkaran Diketahui Gradien
• Persamaan Garis Singgung Lingkaran Menyinggung Suatu Titik
• Persamaan Garis Singgung Melalui Titik di Luar Lingkaran

Gambaran Umum Materi

Seperti yang sudah kamu ketahui bahwa geometri koordinat merupakan materi yang menggabungkan geometri dan aljabar. Itu artinya dalam geometri koordinat, kamu akan mempelajari mengenai bentuk fungsi dan persamaan, termasuk persamaan lingkaran. Tentunya, untuk menyelesaikan contoh soal, kamu tentunya harus mahir dalam mengaplikasikan rumus persamaan lingkaran.

Sebelum itu, kamu harus memahami mengenai aplikasi rumus persamaan lingkaran dan penyelesaian contoh soal persamaan lingkaran, kamu harus memahami konsep dari materi persamaan lingkaran. Persamaan lingkaran adalah suatu persamaan yang membentuk lingkaran pada koordinat Cartesius.

Konsep ini bukan hanya bisa kamu aplikasikan dalam matematika, tapi kamu bisa menemukan aplikasinya dalam kehidupan sehari-hari. Kamu bisa lihat dalam jangkauan Wifi, siaran radio, ataupun alat pendeteksi gempa bumi yang digunakan BMKG. Oleh karena itu, kamu harus memahami tiap sub-bab yang ada.

Materi persamaan lingkaran merupakan salah satu materi dalam geometri koordinat yang membutuhkan kemahiran kamu dalam mengolah dan mengaplikasikan rumus untuk menyelesaikan contoh soal yang kamu punya. Oleh karena itu, latihan menjadi salah satu hal yang akan memperkuat kemampuanmu dalam mengerjakan contoh soal.

Untuk itu, mempelajari  materi persamaan lingkaran. Dengan video pembelajaran interaktif, tentunya materi akan lebih mudah kamu pelajari dan pahami. Kamu bisa mempersiapkan buku dan pensil untuk turut mengaplikasikan rumus yang ada di dalam video. Setelah itu, kamu bisa mendapatkan contoh soal yang kompetitif

DAFTAR ISI: Persamaan Lingkaran Persamaan umum lingkaran Persamaan lingkaran pada pusat P (a,b) dan jari-jari r Persamaan lingkaran dengan pusat O (0,0) dan jari-jari r Posisi Titik terhadap Lingkaran Persamaan Garis Singgung Lingkaran Diketahui Gradien Persamaan Garis Singgung Lingkaran Menyinggung Suatu Titik Persamaan Garis Singgung Melalui Titik di Luar Lingkaran Contoh Soal Persamaan Lingkaran

• Persamaan Lingkaran

Terdapat berbagai macam persamaan lingkaran, yaitu persamaan yang dibentuk dari titik pusat dan jari-jari serta suatu persamaan yang bisa dicari titik pusat dan jari – jarinya.

• Persamaan umum lingkaran

Dalam Persamaan lingkaran, terdapat persamaan umum, seperti dibawah ini :

Adalah bentuk umum rumus persamaannya.

Dilihat dari persamaan diatas, dapat ditentukan titik pusat serta jari – jari lingkaran nya:

 

Titik pusat lingkaran

 jari-jari lingkaran

• Persamaan lingkaran dengan pusat P(a,b) dan jari-jari r

Dari suatu lingkaran jika diketahui titik pusat dan jari-jarinya, dapat diperoleh persamaan lingkarannya, yaitu dengan rumus:

jika diketahui titik pusat dan jari-jari lingkaran dimana (a,b) adalah titik pusat dan r adalah jari-jari dari lingkaran tersebut.

Dari persamaan yang diperoleh, kita dapat menentukan apakah suatu titik terletak pada lingkaran, di dalam lingkaran atau diluar lingkaran. Untuk menentukan letak titik tersebut, yaitu dengan subtitusi titik pada variabel x dan y kemudian dibandingkan hasilnya dengan kuadrat dari jari-jari.

Suatu titik M (x1, y1) terletak:

terletak pada lingkaran jika  =  r^2

terletak didalam lingkaran jika   <  r^2

jika  terletak di luar lingkaran: > r^2

• Persamaan lingkaran dengan dengan pusat O(0,0) dan jari-jari r

Persamaan lingkaran jika titik pusat di O(0,0), maka subtitusi pada bagian sebelumnya, yaitu:

Dari persamaan diatas, juga dapat ditentukan letak suatu titik terhadap lingkaran tersebut.

Suatu titik M (x1, y1) terletak:

terletak pada lingkaran jika  =  r^2

terletak didalam lingkaran jika   <  r^2

jika  terletak di luar lingkaran: > r^2

• Perpotongan Garis dan Lingkaran

Suatu lingkaran dengan persamaan lingkaran 

dapat ditentukan apakah suatu garis h dengan persamaan y = mx+n tersebut tidak menyentuh, menyinggung, atau memotong lingkaran dengan menggunakan prinsip diskriminan.

(persamaan 1)

(persamaan 2)

Dengan mensubtitusi persamaan 2 ke persamaan 1, akan diperoleh suatu bentuk persamaan kuadrat:

Dari persamaan kuadrat diatas, dengan membandingkan nilai diskriminannya, dapat dilihat apakah garis tidak menyinggung/memotong, menyinggung atau memotong lingkaran.

• Garis h tidak memotong/menyinggung lingkaran, maka D < 0
• Garis h menyinggung lingkaran, maka D = 0
• Garis h memotong lingkaran, maka D > 0

• Persamaan Garis Singgung Lingkaran

Persamaan garis singgung melalui sebuah titik pada lingkaran.
Garis singgung pada suatu lingkaran tepat bertemu dengan satu titik yang terletak pada lingkaran. Dari titik pertemuan dari garis singgung dan lingkaran, dapat ditentukan persamaan garis dari garis singgung tersebut.

Persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik P (x1, y1), dapat ditentukan berdasarkan rumus persamaan lingkaran yang dijelaskan pada bagian sebelumnya, yaitu

Persamaan lingkaran berpusat di (0,0), Persamaan garis singgungnya:

Persamaan lingkaran berpusat di (a,b), Persamaan garis singgungnya: 

Persamaan Umum lingkaran, Persamaan garis singgungnya:

• Persamaan garis singgung dengan gradien

Jika suatu garis dengan gradien m yang menyinggung sebuah lingkaran berpusat di (0,0), maka persamaan garis singgungnya:



Jika lingkaran berpusat di (a,b), maka persamaan garis singgungnya:

 Jika Persamaan umum lingkaran, maka persamaan garis singgungnya dengan mensubtitusi r:

• Persamaan garis singgung dengan titik yang berada diluar lingkaran

Dari suatu titik yang berada diluar lingkaran, dapat ditarik dua garis singgung pada lingkaran tersebut. Untuk mecari persamaan garis singgung, digunakan rumus persamaan garis biasa, yaitu:

Akan tetapi dari rumus diatas, nilai gradien garis belum diketahui. Untuk mencari nilai gradien garis, subtitusikan persamaan pada persamaan lingkaran. Karena garis merupakan garis singgung, maka dari persamaan hasil subtitusi nilai D = 0, dan akan diperoleh nilai m.

• Contoh Soal Persamaan Lingkaran

1. Pusat dan jari – jari lingkaran dari persamaan 2x² + 2y² – 4x + 3y = 0 adalah ....
A. - 3/2 dan ( -1, -3/8 )
B. - 1 dan ( -1, -3/8 )
C. 3/2 dan ( 1, 3/8  )
D. 5/2 dan ( 1,-3/8  )
E. - 5/2 dan ( -1, 3/8)

Pembahasan :
• 2x² + 2y² – 4x + 3y = 0      
  a = -2, b =3/2 , c = 0     
     
• P( - ½ A, -  ½B ) =  (-  ½(-2) , - ½ (3/4))
                               = ( 1 , - 3/8 )

• r = √a² + b²  = √(-2)² + (3/2)²
     =√ 4 + 9/4  =   √25/4
     = 5/2    Jawaban : D

2. Persamaan garis singgung pada lingkaran x² + y² = 25 di titik (3, -4) adalah ....
A. 3x – 4y – 25
B. 3x – 4y – 15
C. -3x – 4y -25
D. -3x + 4y = 25
E. 3x + 4y + 15

Pembahasan :
• persamaan garis singgung :
  x1x + y1y = 25 
  3x - 4y = 25
  3x – 4y – 25 = 0  Jawaban : A 

3. Koordinat titik pusat lingkaran  x² + y² – 4y + 6y + 8 = 0 adalah ....
A. ( 2,3)
B. (-3,2)
C. (-2,3)
D. (2,-3)
E. (-2,1)

Pembahasan :
• P( -  ½A, -  ½B ) = (-½  (-4) , -  ½(6))                  
                              = ( 2, -3 )     Jawaban : D

4. Pusat lingkaran (x + 1)² + y² = 1 adalah ....
A. (-2,0)
B. (-1,0)
C. (0,1)
D. (0,-1)
E. (0,2)

Pembahasan :
•  (x + 1)² + y² = 1    
    x² + 2x + 1+ y² = 1           
    x² + y² + 2x = 0

• P( - ½ A, -½  B ) = (- ½ (2) , - ½ (0))
= ( -1 , 0)    Jawaban : B

5. Persamaan garis singgung lingkaran x² + y² = 16  dengan gradien - 1  adalah ....
A. - x + 2
B. - x - 1
C. x + 2
D. - x - 3
E.  x - 2

Pembahasan :
• y = mx ± r
  y = - x ± 4
  y = - x ± 4  
  y = - x ± 2   Jawaban : A

6. Persamaan lingkaran yang berpusat di titik pangkal dan melalui titik (6,8) adalah ....
A. x² + y² = 36
B. x² +  y² = 64
C. x² + y² = 100
D. x² + y² = 144
E. x² + y² = 48

Pembahasan :
• r² = 62 + 82 = 36 + 64    = 100
• Persamaan lingkaran :
  x² + y² = r²
  x² + y² = 100   Jawaban : C

7. persamaan garis singgung pada lingkaran x² + y² – 6x + 2y + 3 = 0 di titik (5,2) adalah ...
A. 3x + 2y – 10 = 0
B. 3x – 2y – 10 = 0
C. 2x + 3y – 10 = 0
D. 2x + 3y + 10 = 0
E. 2x – 3y – 10 = 0

Pembahasan :
• x² + y² – 6x + 2y + 3 = 0          
 ( x – 3)² + (y + 1)² – 9 – 1 + 3 = 0   
 ( x – 3)² + (y + 1)² – 7 = 0          
 2x – 6 + 3y + 3 – 7 = 0           

• persamaan garis singgung di titik (5,2)
  ( x – 3)(x1 – 3) + (y + 1)(y1 + 1) = 7
  (x – 3)(5 – 3 ) + (y + 1)(2 + 1) = 7

  2x + 3y – 10 = 0    Jawaban : C

8. Persamaan garis singgung lingkaran (x - 3)² + (y + 5)² = 80 yang sejajar dengan garis y
   – 2x + 5 = 0 adalah ....
A. y = 2x - 11 ± 20
B. y = 2x - 8 ± 20
C. y = 2x – 6 ± 15
D. y = 2x - 8 ± 15
E. y = 2x – 6 ± 25

Pembahasan :

• y – 2x + 5 = 0  
  m1 = m2 = 2               
                                                                                                                 
• y – b = m(x – a) ± r √m² + 1
  y + 5 = 2 (x – 3) ± √80 √ 5
  y + 5 = 2x – 6  ± √400
  y = 2x – 11 ± 20     Jawaban : A


9. Persamaan garis singgung lingkaran x² + y² - 6x + 4y - 12 = 0 di titik (7,1) adalah ....
A. 3x – 4y – 41 = 0
B. 4x +  3x – 55 = 0
C. 4x – 5y – 53 = 0
D. 4x + 3y – 31 = 0
E. 4x – 3y – 40 = 0

Pembahasan :
• x² + y² - 6x + 4y - 12 = 0   
  (x – 3)² + (y + 2)² – 9 – 4 – 12 = 0        
  (x – 3)² + (y + 2)²  = 25             

• (x – 3)² + (y + 2)²  = 25
  (x -3)(7 – 3) + (y + 2)(1 + 2) = 25
  4x – 12 + 3y + 6 – 25 = 0 
  4x + 3y – 31 = 0    Jawaban : D

10. Persamaan lingkaran yang berpusat di (-3,2) dan diameter 2√12 adalah ....
A. x² + y² - 6x + 4y – 7 = 0
B. x² + y² - 6x + 4y - 6 = 0
C. x² + y² + 6x - 4y + 7 = 0
D. x² + y² + 6x - 4y + 1  = 0
E. x² + y² + 6x - 4y + 13 = 0

Pembahasan :
• d =2√12     r = √12

•  (x + 3)² + (y – 2)² = (√12 )²
   x² + 6x + 9 + y² – 4y + 4 =   12
   x² + y² + 6x – 4y + 13 – 12 = 0
   x² + y² + 6x – 4y + 1 = 0    Jawaban : D


11 persamaan lingkaran yang melalui titik (5,-1) dan berpusat di titik (2,3) adalah ....
A. x²+ y² - 4x - 6y - 12 = 0
B. x² + y² - 4x - 4y - 13 = 0
C. x² + y² - 4x - 6y - 24 = 0
D. x² + y² - 2x - 3y - 10 = 0
E. x² + y² - 4x + 6y + 25 = 0

Pembahasan :
• (x – a)² + (y – b)² =r ²  
  (5 – 2)² + (-1 -3)² = r²                        
   9+ 16 = r2   = r = 5          

 • (x – a)² + (y – b)² = r²
   (x – 2)² + (y – 3)² = 5²
    x² + y² - 4x - 6y - 12 = 0    Jawaban : A

12. Persamaan garis singgung melalui titik (-2,-1) pada lingkaran x2 + y2 + 12x – 6y + 13 = 0
    adalah ....
A. -2x – y – 5 = 0
B. x – y + 1 = 0
C. x + 2y + 4 = 0
D. 3x – 2y + 4 = 0
E. 2x – y + 3 = 0

Pembahasan :
• x² + y² + 12x – 6y + 13 = 0
 (x + 6)² + (y – 3)² - 36 - 9 + 13 = 0
 (x + 6)² + (y – 3)² – 32 = 0
 (x + 6)(x1 + 6) + (y – 3)(y1 – 3) = 32
 (x + 6)(-2 + 6) + (y – 3)(-1 – 3 ) = 32
 (x + 6)(4) + (y – 3)(-4) = 32
 4x + 24 – 4y + 12 = 32
 4x – 4y + 4 = 0
 x – y + 1 = 0     Jawaban : B


13. Salah satu persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 + 2x – 6y – 10 = 0 yang tegak
    lurus garis terhadap garis x + 2y +1 = 0 adalah ....
A. y = 2x – 14
B. y = 2x – 11
C. y = 2x + 5
D. y = 2x + 9
E. y = 2x + 15

Pembahasan :
•  x + 2y + 1 = 0
   y = -x - 1 / 2
    m1 =-1/m2   , sehingga  m2 = 2
• P ( -  A , -  B ) = ( -½  (2) , -  ½(-6) )
                        = (-1 , 3 )

• y - 3 = m ( x + 1 ) ± r
   y = 2x + 5 ± 2
   y = 2x + 5 ± 2 . 5
   y = 2x+ 5 ± 10   >  y = 2x + 15 dan y = 2x – 5    Jawaban : E

Read More

KOMPOSISI FUNGSI & FUNGSI INVERS

Fungsi Komposisi & Fungsi Invers

Selamat datang, untuk mulai belajar materi  fungsi komposisi  &  fungsi invers 

Gambaran Umum Materi

Dalam pembelajaran aljabar, kamu sudah tentu akan bertemu dengan banyak jenis persamaan dan fungsi, mulai dari persamaan linear hingga persamaan kuadrat, mulai dari fungsi kuadrat hingga fungsi invers. Di halaman ini, kamu akan mempelajari mengenai 2 jenis fungsi lainnya, yaitu fungsi komposisi & fungsi invers.

Singkatnya, dalam materi fungsi komposisi & fungsi invers, kamu akan mempelajari mengenai pembuatan bentuk fungsi baru dan melakukan pemetaan suatu fungsi. Oleh karena itu, penting untuk kamu memperhatikan setiap detail pengerjaan agar mampu menyelesaikan setiap contoh soal, baik contoh soal fungsi komposisi maupun fungsi invers.

Materi yang pertama akan kamu ulas adalah materi fungsi komposisi. Seperti yang sudah dijelaskan, materi fungsi komposisi ini bisa didefinisikan sebagai sebuah gabungan dari dua fungsi yang ada sehingga membentuk suatu fungsi baru. Tentunya, untuk menggabungkan dua fungsi tersebut, kamu harus memahami metode dan rumus yang akan dipakai.

Pada dasarnya, materi fungsi komposisi ini bisa kamu bayangkan sebagai sebuah pemetaan yang dilakukan pada materi himpunan, hanya saja di materi ini, kamu dituntut untuk membentuk sebuah fungsi yang baru dari 2 fungsi yang sudah ada.

Materi fungsi yang kedua, yaitu fungsi invers. Kamu bisa mendefinisikan materi fungsi invers secara singkat sebagai sebuah metode pemetaan yang dilakukan dari daerah kawan ke daerah asal atau dari daerah satu (domain) ke daerah lainnya (range).

Untuk mengerjakan materi fungsi invers, kamu bisa mencoba mendapatkan invers (kebalikan) dari fungsi yang sudah ada. Setelahnya, kamu bisa menggambarkan fungsi-fungsi yang didapatkan ke dalam grafik. Dari situ, kamu akan mendapatkan nilai fungsi invers dengan mencerminkan fungsi yang ada.

Fungsi komposisi & fungsi invers merupakan dua jenis fungsi yang harus kamu pahami dengan seksama. Kedua jenis fungsi ini akan memberikan pemahaman yang lebih untuk kamu mempelajari matematika, terutama dalam materi aljabar. Perbanyak latihan, maka kamu akan semakin mahir dalam mengolah setiap soal yang ada di materi ini.

Pengertian Fungsi Komposisi

Fungsi komposisi yaitu penggabungan operasi pada dua jenis fungsi f(x) dan g(x) hingga menghasilkan fungsi baru. Operasi fungsi komposisi biasa yaitu dilambangkan dengan “o” dan dibaca dengan komposisi atau bundaran.

Fungsi baru yang bisa terbentuk dari f (x) dan g (x) yaitu:

(fog) (x) = g dimasukkan ke f

(gof) (x) = f dimasukkan ke g

Fungsi tunggal itu merupakan fungsi yang bisa dilambangkan dengan huruf "kabut" atau juga bisa dibaca dengan "fungsi f bundaran g". Fungsi “fog” yaitu fungsi g yang dilakukan terlebih dahulu, lalu f. Sedangkan untuk fungsi “gof” dibaca dengan fungsi g bundaran f. Maka, “gof” yaitu fungsi f terlebih dahulu, lalu g.

Rumus Fungsi Komposisi

Dari rumus tersebut, definisi yang di dapat menyatakan:

Jika f : A → B ditentukan rumus y = f (x)

Jika g : B → C ditentukan rumus y = g (x)

Jadi, hasil fungsi g dan f:

h (x) = ( g o f ) (x) = g ( f (x))

Dari penjelasan tersebut bisa dikatakan bahwa fungsi yang melibatkan fungsi f dan g bisa ditulis:

(gof) (x) = g (f (x) )

Contoh Soal 1

Diberikan dua buah fungsi yang masing-masing f (x) dan g (x) berturut-turut yaitu:

f (x) = 3x + 2  dan  g (x) = 2 - x

Tentukanlah:  

a) ( f o g ) (x)  & 

b) ( g o f ) (x)

Data Jawaban :

f (x) = 3x + 2

g (x) = 2 - x

a) ( f o g ) (x)

“Masukkanlah g (x) nya ke f (x)”

hingga menjadi:

( f o g ) (x) = f ( g (x))

= f (2 - x)

= 3 (2 - x) + 2

= 6 - 3x + 2

= - 3x + 8

b) ( g o f ) (x)

“Masukkanlah f (x) nya ke g (x)”

Hingga menjadi:

( f o g ) (x) = g ( f (x))

= g (3x + 2)

= 2 - (3x + 2)

= 2 - 3x - 2

= - 3x

Contoh Soal 2

Diketahui fungsi f (x) = 3x - 1 dan g (x) = 2x² + 3. Nilai dari komposisi fungsi ( g o f ) (1) =….?

A. 12

B. 8

C. 7

D. 11

E. 9

Jawaban

Diketahui:

f (x) = 3x - 1 dan g (x) = 2x² + 3

( g o f ) (1) =…?

Masukkanlah f (x) nya pada g (x) lalu isi dengan 1

( g o f ) (x) =  2(3 x - 1)² + 3

( g o f ) (x) =  2 ( 9x²  - 6x + 1) + 3

( g o f ) (x) = 18x² - 12x + 2 + 3

( g o f ) (x) = 18x² - 12x + 5

( g o f ) (1) = 18(1)² - 12 (1) + 5 = 11

Contoh Soal 3

Diberi dua buah fungsi:

f (x) = 2x - 3

g (x) = x² + 2x + 3

Jika (fog) (a) adalah 33, tentukanlah nilai dari 5a

Jawaban:

Cari terlebih dahulu (fog) (x)

(fog) (x) =  2 (x² + 2x + 3) - 3

(fog) (x)  =  2 x²  +  4x + 6 - 3

(fog) (x )  =  2 x²  +  4x + 3

33 sama dengan 2a²  + 4a + 3  

2a²  + 4a + 3  = 33

2a²  + 4a - 30  =  0

a² + 2a - 15  =  0

Faktorkan:

(a + 5) (a - 3)  =  0

a = - 5 atau a = 3

Hingga

5a = 5 (−5) = −25  atau  5a = 5 (3) = 15

Fungsi Invers

Pengertian dan Contoh Soal Fungsi Invers

Dalam fungsi biasanya untuk menentukan nilai atau petanya maka kita masukan nilai domain ke rumus fungsi dan kemudian kita akan mendapatkan petanya. Hal sebaliknya dapat kita lakukan yaitu dari peta kita akan mendapatkan domainnya. Kita dapat melakukanya dengan memasukkan petanya ke fungsi inversnya. Pada bahasan kali ini, akan dibahas mengenai Fungsi Invers baik itu, pengertian, sifat-sifat dan contoh soalnya. Namun, untuk mempermudah memahami materi ini, syaratnya adalah anda harus memahami terlebih dahulu mengenai relasi dan fungsi.

Pengertian Fungsi Invers

Fungsi Invers atau dapat disebut sebagai Fungsi Kebalikan adalah fungsi yang merupakan kebalikan dari aksi fungsi awalnya. Setiap fungsi mempunyai invers, namun setiap invers belum tentu sebuah fungsi. Ini berarti invers dari suatu fungsi dapat berupa relasi atau fungsi. Untuk lebih memahaminya, simaklah penjelasan berikut.

Misalkan terdapat dua fungsi yaitu fungsi f dan g yang digambarkan dalam diagram panah di bawah ini.

Apabila fungsi g dan f dibalik maka akan menghasilkan R1  dan  R2. R1  merupakan  invers  dari  fungsi  g yang bukan fungsi dan termasuk ke dalam relasi. Karena ada anggota B yang tidak memiliki pasangan di A serta terdapat anggota yang memiliki pasangan lebih dari satu, sehingga R1 bukan fungsi. Sedangkan R2 merupakan invers dari fungsi g yang termasuk fungsi. Karena setiap anggota B memiliki tepat satu pasangan di A. Dengan demikian R2 dapat dikatakan sebagai fungsi invers dari f yang biasanya dinotasikan dengan  f⁻¹ 

Syarat Invers Fungsi Dikatakan Fungsi

Fungsi infers dari f dinyatakan dengan menambahkan "−1" pada f atau ditulis  f⁻¹ . Dari penjelasan sebelumnya, terlihat  bahwa  f⁻¹  ada apabila f dalam keadaan berkorespondensi satu-satu atau f adalah fungsi bijektif. Perhatikan diagram fungsi f di bawah

Dari gambar terlihat bahwa fungsi f merupakan fungsi korepondensi satu-satu, sehingga ketika f dibalik maka menghasilkan invers yang merupakan fungsi juga.

Menetukan Fungsi Invers Suatu Fungsi

Untuk menentukan fungsi invers dari suatu fungsi dapat dilakukan dengan cara berikut ini.

• Buatlah pemisalan f(x) = y pada persamaan

• Persamaan tersebut disesuaikan dengan f(x) = y, sehingga ditemukan fungsi dalam y dan nyatakanlah  x = f(y)

• Gantilah y dengan x, sehingga f(y) = f-1(x)

Agar lebih menambah pemahaman anda mengenai fungsi invers, berikut ini  beberapa contoh soal mengenai fungsi invers

Contoh 1

Jika diketahui f(x) = 3x−2, tentukan invers dari f(x)

Penyelesaian: 

Contoh 2

Diketahui f: R→R dan g: R→R ditentukan oleh f(x) = 2x–7 dan g(x) = 3x+2. 

Tentukan  (gof)⁻¹(x)

Penyelesaian

edit, 23 September 2020

rahmawaty_polontalo

referensi:

https://www.madematika.net/2016/08/pengertian-dan-contoh-soal-fungsi-invers.html

Read More

BARISAN DAN DERET

BARISAN DAN DERET ARITMETIKA

Pengertian Barisan Matematika

Yang dinamakan barisan dari bilangan real adalah susunan bilangan yang mempunyai sifat keturunan (berpola), unsur-unsur suatu barisan disebut dengan istilah suku-suku barisan, dilambangkan dengan  U1, U2, U3, …, Un.
U1 = suku pertama
U2 = suku kedua
U3 = suku ketiga
Un = suku ke-n
Contoh barisan bilangan ganjil
1, 3, 5, 7, 9, …., 2n-1
suku pertaman (U1) = 1, suku kedua (U2) = 3, dan suku ke-n = 2n-1
Dalam matematika SMA, jenis barisan ada 2 yaitu barisan aritmatika dan barisan geometri, kali ini kita akan belajar barisan aritmatika dulu, yang geometri insyaAlloh menyusul.
Barisan Aritmatika

Definisi barisan ini adalah barisan yang setiap selisih antar suku yang berdekatan selalu konstan. Secara matematis dalam barisan aritmatika berlaku rumus
Un-Un-1 = konstan, dengan n = 2,3,4,...

 Nilai konstan pada definisi di atas disebut juga dengan beda barisan aritmatika (dilambangkan b)

Un-Un-1 = b

Contoh
23, 30, 37, 44, 51, … merupakan barisan aritmatika dengan beda 7
2, 7/4, 3/2, 5/4, 1, … adalah barisan aritmatika dengan beda -1/4
Jika a adalah suku pertama dari deret matika dan b adalah beda, maka rumus barisan aritmatika adalah
Un = a  + (n-1)b [rumus barisan aritmatika]

Contoh soal
Suatu barisan aritmetika, suku ketiganya adalah 36, jumlah suku ke-5 dan ke-7 adalah 144. Berapa suku ke seratus dari barisan tersebut.

Jawab :
U3 = 36 ⇔ a + (3-1)  b = 36 ⇔ a + 2b = 36 ……. (1)
U5 + U7⇔ a + 4b + a + 6 b = 144 ⇔ 2a + 10 b = 144 ⇔ a + 5b =72 …… (2)
eliminasi persamaan (1) dengan persamaan (2)
a + 2b = 36
a + 5b = 72
————– –
-3b = – 36 ⇔ b = 12
a + 2b = 36
a + 2(12) = 36 ⇔ a + 24 = 36 ⇔ a = 12
suku ke 100, U100 = a +  (100-1) b = 12 + 99.12 = 100. 12 =1200

Suku Tengah Barisan Aritmatika

Jika suatu barisan aritmatika berjumlah ganjil, maka di antara barisan tersebut ada suku tengahnya. Lalu bagaimana cara menentukan nilai dari suku tengah tersebut?
Rumus mencari nilai suku tengah

Ut = 1/2 (U1+Un)

contoh soal
Jika ada barisan aritmetika 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, …, 1.200 Tentukan suku tengahnya!
Ut = 1/2 (U1+Un) = 1/2 (2+1200) = 1/2 x 1.202 = 601

Sisipan dalam Barisan Aritmatika

Jika ada dua buah bilagnan m dan n, kemudian sobat sisipkan diantara dua bilangan tersebut bilangan sebanyak k buah, maka akan diperoleh bentuk
m, m+b, m+2b, m+3b, m+4b, …, n
misal kita punya 2 bilangan 10 dan 20 kemudian akan kita sisipkan 4 buah bilangan di antaranya hingga membentuk deret aritmatika. Dari semula 2 suku sekarang ditambah 4 suku, total ada 6 suku.
10, 10+b, 10+2b, 10+3b, 10+4b, 20 pertanyaanya berapa nilai beda (b)?
Sobat bisa menggunakan rumus Un = a+(n-1)b ⇔ 20 = 10+(6-1)b ⇔20 = 10 + 5b ⇔ b = 2
untuk rumus cepat sobat bisa menggunakan

b = [n-m]/[k+1]
Deret Aritmatika

Misalkan sobat punya suatu barisam aritmatikan U1, U2, U3, …. Un
maka jika sobat hitung melakukan penjumlahan suku secara berurutan dari suku pertama hingga suku ke-n, U1 + U2 + U3 + …. + Un itulah yang sdisebut dengan derat aritmatika. Sebut saja deret adalah jumlah dari suatu barisan aritmatika. Sn = jumlah n buah suku pertama dari suatu barisan aritmatika adalah

Sn = 1/2 n (2a+(n-1)b)

karena a+(n-1)b = Un

Sn = 1/2 n (a+a+(n-1)b)  = 1/2 n (a+Un)

Contoh soal

Misal saya punya sejumlah kelereng. Kelereng tersebut akan saya bagikan habis ke 5 orang dari sobat hitung menurut suatu aturan barisan aritmatika. Jika orang ketiga dapat 15 kelerang dan orang ke-4 dapat 19 kelerang. Berapa jumlah kelereng yang saya punya?

Pembahasan
Jumlah kelereng = deret artimatika dengan n = 5 (S5). Pertama kita cari nilai a dan b.

U3 = 15 ⇔ a+2b = 15 …. (i)
U4 = 15 ⇔ a+3b = 19 …. (ii)
……………………………………………. – (eliminasi)
– b = -4  ⇔ b = 4

a+2b = 15
a+8 = 15
a = 7
S5 = 1/2 5 (2(7)+(5-1)4) = 5/2 (30) = 75 buah kelereng.

Itu tadi sedikit tentang barisan aritmatika berikut deretnya, semoga bermanfaat.

====================================================================

BARISAN DAN DERET GEOMETRI

Di sini akan dijelaskan konsep dan rumus penyelesaian untuk Barisan dan deret Geometri, kemudian diberikan juga beberapa contoh soal dan penjelasan mengenai bagaimana cara menyelesaikan soal-soal tersebut dengan menggunakan rumus-rumus yang telah dijelaskan. jadi, simak materinya dengan baik, ya!


Pengertian dan Rumus Barisan Geometri
Barisan Geometri dapat didefinisikan sebagai barisan yang tiap-tiap sukunya didapatkan dari hasil perkalian suku sebelumnya dengan sebuah konstanta tertentu.

Contoh Barisan Geometri
untuk lebih memahami apa yang dimaksud dengan barisan geometri perhatikan contoh berikut:

3, 9, 27 , 81, 243, ...

barisan di atas adalah contoh barisan geometri dimana setiap suku pada barisan tersebut merupakan hasil dari perkalian suku sebelumnya dengan konstanta 3. maka bisa disimpulkan bahwa rasio pada barisan di atas adalah 3. rasio pada suatu barisan dapat dirumuskan menjadi:

r = ak+1/ak

dimana ak adalah sembarang suku dari barisan geometri yang ada. sementara ak+1 adalah suku selanjutnya setelah ak.

untuk menentukan suku ke-n dari sebuah barisan geometri, kita dapat menggunakan rumus:

Un = arn-1

dimana a merupakan suku awal dan r adalah nilai rasio dari sebuah barisan geometri.

Mari kita pelajari penggunaan rumus-rumus barisan geometri di atas dalam menyelesaikan soal:


Contoh Soal dan Pembahasan Barisan Geometri

Contoh Soal 1
Sebuah Bakteri mampu melakukan pembelahan diri menjadi 4 setiap 12 menit. berapakah jumlah bakteri yang ada setelah 1 jam apabila sebelumnya terdapat 3 buah bakteri?

Penyelesaian:
a = 3
r = 4
n = 1 jam/12 menit = 60/12 = 5

Masukkan ke dalam rumus:
Un = arn-1
U5 = 3 x 45-1
U5 = 3 x 256 = 768 bakteri


Pengertian dan Rumus deret Geometri
Deret geometri dapat diartikan sebagai jumlah dari n suku pertama pada sebuah barisan geometri. apabila suku ke-n dari suatu barisan geometri digambarkan dengan rumus: an = a1r(n-1), maka deret geometrinya dapat dijabarkan menjadi:

Apabila kita mengalikan deret geometri di atas dengan -r, lalu kita jumlahkan hasilnya dengan deret aslinya, maka kita akan memperoleh:

Setelah diperoleh

 maka kita dapat mengetahui nilai dari suku n pertama dengan cara berikut ini:

Berdasarkan kepada hasil perhitungan di atas, maka dapat disimpulkan bahwa rumus jumlan n suku pertama pada sebuah barisan geometri adalah:

Perhatikan cara menggunakan rumus tersebut pada contoh soal di bawah ini:

Contoh Soal Deret Geometri

Contoh Soal 2
Tentukanlah jumlah 8 suku pertama dari barisan geometri 2, 8, 32, ...

Pembahasan:
a = 2
r = 4
n = 8

Sn = a  (1-rn) / (1-r)
Sn = 2  (1-48) / (1-4)
Sn = 2  (1-65536)/ (-3)
Sn = 2  (-65535)/ (-3)
Sn = 2 x 21845
Sn = 43690

Read More