PERSAMAAN LINGKARAN

Persamaan Lingkaran

Selamat datang, untuk mulai belajar rumus & contoh soal persamaan lingkaran.

• Lingkaran dengan Pusat (0, 0)
• Lingkaran dengan Pusat (a, b)
• Bentuk Umum Lingkaran
• Posisi Titik terhadap Lingkaran
• Persamaan Garis Singgung Lingkaran Diketahui Gradien
• Persamaan Garis Singgung Lingkaran Menyinggung Suatu Titik
• Persamaan Garis Singgung Melalui Titik di Luar Lingkaran

Gambaran Umum Materi

Seperti yang sudah kamu ketahui bahwa geometri koordinat merupakan materi yang menggabungkan geometri dan aljabar. Itu artinya dalam geometri koordinat, kamu akan mempelajari mengenai bentuk fungsi dan persamaan, termasuk persamaan lingkaran. Tentunya, untuk menyelesaikan contoh soal, kamu tentunya harus mahir dalam mengaplikasikan rumus persamaan lingkaran.

Sebelum itu, kamu harus memahami mengenai aplikasi rumus persamaan lingkaran dan penyelesaian contoh soal persamaan lingkaran, kamu harus memahami konsep dari materi persamaan lingkaran. Persamaan lingkaran adalah suatu persamaan yang membentuk lingkaran pada koordinat Cartesius.

Konsep ini bukan hanya bisa kamu aplikasikan dalam matematika, tapi kamu bisa menemukan aplikasinya dalam kehidupan sehari-hari. Kamu bisa lihat dalam jangkauan Wifi, siaran radio, ataupun alat pendeteksi gempa bumi yang digunakan BMKG. Oleh karena itu, kamu harus memahami tiap sub-bab yang ada.

Materi persamaan lingkaran merupakan salah satu materi dalam geometri koordinat yang membutuhkan kemahiran kamu dalam mengolah dan mengaplikasikan rumus untuk menyelesaikan contoh soal yang kamu punya. Oleh karena itu, latihan menjadi salah satu hal yang akan memperkuat kemampuanmu dalam mengerjakan contoh soal.

Untuk itu, mempelajari  materi persamaan lingkaran. Dengan video pembelajaran interaktif, tentunya materi akan lebih mudah kamu pelajari dan pahami. Kamu bisa mempersiapkan buku dan pensil untuk turut mengaplikasikan rumus yang ada di dalam video. Setelah itu, kamu bisa mendapatkan contoh soal yang kompetitif

DAFTAR ISI: Persamaan Lingkaran Persamaan umum lingkaran Persamaan lingkaran pada pusat P (a,b) dan jari-jari r Persamaan lingkaran dengan pusat O (0,0) dan jari-jari r Posisi Titik terhadap Lingkaran Persamaan Garis Singgung Lingkaran Diketahui Gradien Persamaan Garis Singgung Lingkaran Menyinggung Suatu Titik Persamaan Garis Singgung Melalui Titik di Luar Lingkaran Contoh Soal Persamaan Lingkaran

• Persamaan Lingkaran

Terdapat berbagai macam persamaan lingkaran, yaitu persamaan yang dibentuk dari titik pusat dan jari-jari serta suatu persamaan yang bisa dicari titik pusat dan jari – jarinya.

• Persamaan umum lingkaran

Dalam Persamaan lingkaran, terdapat persamaan umum, seperti dibawah ini :

Adalah bentuk umum rumus persamaannya.

Dilihat dari persamaan diatas, dapat ditentukan titik pusat serta jari – jari lingkaran nya:

 

Titik pusat lingkaran

 jari-jari lingkaran

• Persamaan lingkaran dengan pusat P(a,b) dan jari-jari r

Dari suatu lingkaran jika diketahui titik pusat dan jari-jarinya, dapat diperoleh persamaan lingkarannya, yaitu dengan rumus:

jika diketahui titik pusat dan jari-jari lingkaran dimana (a,b) adalah titik pusat dan r adalah jari-jari dari lingkaran tersebut.

Dari persamaan yang diperoleh, kita dapat menentukan apakah suatu titik terletak pada lingkaran, di dalam lingkaran atau diluar lingkaran. Untuk menentukan letak titik tersebut, yaitu dengan subtitusi titik pada variabel x dan y kemudian dibandingkan hasilnya dengan kuadrat dari jari-jari.

Suatu titik M (x1, y1) terletak:

terletak pada lingkaran jika  =  r^2

terletak didalam lingkaran jika   <  r^2

jika  terletak di luar lingkaran: > r^2

• Persamaan lingkaran dengan dengan pusat O(0,0) dan jari-jari r

Persamaan lingkaran jika titik pusat di O(0,0), maka subtitusi pada bagian sebelumnya, yaitu:

Dari persamaan diatas, juga dapat ditentukan letak suatu titik terhadap lingkaran tersebut.

Suatu titik M (x1, y1) terletak:

terletak pada lingkaran jika  =  r^2

terletak didalam lingkaran jika   <  r^2

jika  terletak di luar lingkaran: > r^2

• Perpotongan Garis dan Lingkaran

Suatu lingkaran dengan persamaan lingkaran 

dapat ditentukan apakah suatu garis h dengan persamaan y = mx+n tersebut tidak menyentuh, menyinggung, atau memotong lingkaran dengan menggunakan prinsip diskriminan.

(persamaan 1)

(persamaan 2)

Dengan mensubtitusi persamaan 2 ke persamaan 1, akan diperoleh suatu bentuk persamaan kuadrat:

Dari persamaan kuadrat diatas, dengan membandingkan nilai diskriminannya, dapat dilihat apakah garis tidak menyinggung/memotong, menyinggung atau memotong lingkaran.

• Garis h tidak memotong/menyinggung lingkaran, maka D < 0
• Garis h menyinggung lingkaran, maka D = 0
• Garis h memotong lingkaran, maka D > 0

• Persamaan Garis Singgung Lingkaran

Persamaan garis singgung melalui sebuah titik pada lingkaran.
Garis singgung pada suatu lingkaran tepat bertemu dengan satu titik yang terletak pada lingkaran. Dari titik pertemuan dari garis singgung dan lingkaran, dapat ditentukan persamaan garis dari garis singgung tersebut.

Persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik P (x1, y1), dapat ditentukan berdasarkan rumus persamaan lingkaran yang dijelaskan pada bagian sebelumnya, yaitu

Persamaan lingkaran berpusat di (0,0), Persamaan garis singgungnya:

Persamaan lingkaran berpusat di (a,b), Persamaan garis singgungnya: 

Persamaan Umum lingkaran, Persamaan garis singgungnya:

• Persamaan garis singgung dengan gradien

Jika suatu garis dengan gradien m yang menyinggung sebuah lingkaran berpusat di (0,0), maka persamaan garis singgungnya:



Jika lingkaran berpusat di (a,b), maka persamaan garis singgungnya:

 Jika Persamaan umum lingkaran, maka persamaan garis singgungnya dengan mensubtitusi r:

• Persamaan garis singgung dengan titik yang berada diluar lingkaran

Dari suatu titik yang berada diluar lingkaran, dapat ditarik dua garis singgung pada lingkaran tersebut. Untuk mecari persamaan garis singgung, digunakan rumus persamaan garis biasa, yaitu:

Akan tetapi dari rumus diatas, nilai gradien garis belum diketahui. Untuk mencari nilai gradien garis, subtitusikan persamaan pada persamaan lingkaran. Karena garis merupakan garis singgung, maka dari persamaan hasil subtitusi nilai D = 0, dan akan diperoleh nilai m.

• Contoh Soal Persamaan Lingkaran

1. Pusat dan jari – jari lingkaran dari persamaan 2x² + 2y² – 4x + 3y = 0 adalah ....
A. - 3/2 dan ( -1, -3/8 )
B. - 1 dan ( -1, -3/8 )
C. 3/2 dan ( 1, 3/8  )
D. 5/2 dan ( 1,-3/8  )
E. - 5/2 dan ( -1, 3/8)

Pembahasan :
• 2x² + 2y² – 4x + 3y = 0      
  a = -2, b =3/2 , c = 0     
     
• P( - ½ A, -  ½B ) =  (-  ½(-2) , - ½ (3/4))
                               = ( 1 , - 3/8 )

• r = √a² + b²  = √(-2)² + (3/2)²
     =√ 4 + 9/4  =   √25/4
     = 5/2    Jawaban : D

2. Persamaan garis singgung pada lingkaran x² + y² = 25 di titik (3, -4) adalah ....
A. 3x – 4y – 25
B. 3x – 4y – 15
C. -3x – 4y -25
D. -3x + 4y = 25
E. 3x + 4y + 15

Pembahasan :
• persamaan garis singgung :
  x1x + y1y = 25 
  3x - 4y = 25
  3x – 4y – 25 = 0  Jawaban : A 

3. Koordinat titik pusat lingkaran  x² + y² – 4y + 6y + 8 = 0 adalah ....
A. ( 2,3)
B. (-3,2)
C. (-2,3)
D. (2,-3)
E. (-2,1)

Pembahasan :
• P( -  ½A, -  ½B ) = (-½  (-4) , -  ½(6))                  
                              = ( 2, -3 )     Jawaban : D

4. Pusat lingkaran (x + 1)² + y² = 1 adalah ....
A. (-2,0)
B. (-1,0)
C. (0,1)
D. (0,-1)
E. (0,2)

Pembahasan :
•  (x + 1)² + y² = 1    
    x² + 2x + 1+ y² = 1           
    x² + y² + 2x = 0

• P( - ½ A, -½  B ) = (- ½ (2) , - ½ (0))
= ( -1 , 0)    Jawaban : B

5. Persamaan garis singgung lingkaran x² + y² = 16  dengan gradien - 1  adalah ....
A. - x + 2
B. - x - 1
C. x + 2
D. - x - 3
E.  x - 2

Pembahasan :
• y = mx ± r
  y = - x ± 4
  y = - x ± 4  
  y = - x ± 2   Jawaban : A

6. Persamaan lingkaran yang berpusat di titik pangkal dan melalui titik (6,8) adalah ....
A. x² + y² = 36
B. x² +  y² = 64
C. x² + y² = 100
D. x² + y² = 144
E. x² + y² = 48

Pembahasan :
• r² = 62 + 82 = 36 + 64    = 100
• Persamaan lingkaran :
  x² + y² = r²
  x² + y² = 100   Jawaban : C

7. persamaan garis singgung pada lingkaran x² + y² – 6x + 2y + 3 = 0 di titik (5,2) adalah ...
A. 3x + 2y – 10 = 0
B. 3x – 2y – 10 = 0
C. 2x + 3y – 10 = 0
D. 2x + 3y + 10 = 0
E. 2x – 3y – 10 = 0

Pembahasan :
• x² + y² – 6x + 2y + 3 = 0          
 ( x – 3)² + (y + 1)² – 9 – 1 + 3 = 0   
 ( x – 3)² + (y + 1)² – 7 = 0          
 2x – 6 + 3y + 3 – 7 = 0           

• persamaan garis singgung di titik (5,2)
  ( x – 3)(x1 – 3) + (y + 1)(y1 + 1) = 7
  (x – 3)(5 – 3 ) + (y + 1)(2 + 1) = 7

  2x + 3y – 10 = 0    Jawaban : C

8. Persamaan garis singgung lingkaran (x - 3)² + (y + 5)² = 80 yang sejajar dengan garis y
   – 2x + 5 = 0 adalah ....
A. y = 2x - 11 ± 20
B. y = 2x - 8 ± 20
C. y = 2x – 6 ± 15
D. y = 2x - 8 ± 15
E. y = 2x – 6 ± 25

Pembahasan :

• y – 2x + 5 = 0  
  m1 = m2 = 2               
                                                                                                                 
• y – b = m(x – a) ± r √m² + 1
  y + 5 = 2 (x – 3) ± √80 √ 5
  y + 5 = 2x – 6  ± √400
  y = 2x – 11 ± 20     Jawaban : A


9. Persamaan garis singgung lingkaran x² + y² - 6x + 4y - 12 = 0 di titik (7,1) adalah ....
A. 3x – 4y – 41 = 0
B. 4x +  3x – 55 = 0
C. 4x – 5y – 53 = 0
D. 4x + 3y – 31 = 0
E. 4x – 3y – 40 = 0

Pembahasan :
• x² + y² - 6x + 4y - 12 = 0   
  (x – 3)² + (y + 2)² – 9 – 4 – 12 = 0        
  (x – 3)² + (y + 2)²  = 25             

• (x – 3)² + (y + 2)²  = 25
  (x -3)(7 – 3) + (y + 2)(1 + 2) = 25
  4x – 12 + 3y + 6 – 25 = 0 
  4x + 3y – 31 = 0    Jawaban : D

10. Persamaan lingkaran yang berpusat di (-3,2) dan diameter 2√12 adalah ....
A. x² + y² - 6x + 4y – 7 = 0
B. x² + y² - 6x + 4y - 6 = 0
C. x² + y² + 6x - 4y + 7 = 0
D. x² + y² + 6x - 4y + 1  = 0
E. x² + y² + 6x - 4y + 13 = 0

Pembahasan :
• d =2√12     r = √12

•  (x + 3)² + (y – 2)² = (√12 )²
   x² + 6x + 9 + y² – 4y + 4 =   12
   x² + y² + 6x – 4y + 13 – 12 = 0
   x² + y² + 6x – 4y + 1 = 0    Jawaban : D


11 persamaan lingkaran yang melalui titik (5,-1) dan berpusat di titik (2,3) adalah ....
A. x²+ y² - 4x - 6y - 12 = 0
B. x² + y² - 4x - 4y - 13 = 0
C. x² + y² - 4x - 6y - 24 = 0
D. x² + y² - 2x - 3y - 10 = 0
E. x² + y² - 4x + 6y + 25 = 0

Pembahasan :
• (x – a)² + (y – b)² =r ²  
  (5 – 2)² + (-1 -3)² = r²                        
   9+ 16 = r2   = r = 5          

 • (x – a)² + (y – b)² = r²
   (x – 2)² + (y – 3)² = 5²
    x² + y² - 4x - 6y - 12 = 0    Jawaban : A

12. Persamaan garis singgung melalui titik (-2,-1) pada lingkaran x2 + y2 + 12x – 6y + 13 = 0
    adalah ....
A. -2x – y – 5 = 0
B. x – y + 1 = 0
C. x + 2y + 4 = 0
D. 3x – 2y + 4 = 0
E. 2x – y + 3 = 0

Pembahasan :
• x² + y² + 12x – 6y + 13 = 0
 (x + 6)² + (y – 3)² - 36 - 9 + 13 = 0
 (x + 6)² + (y – 3)² – 32 = 0
 (x + 6)(x1 + 6) + (y – 3)(y1 – 3) = 32
 (x + 6)(-2 + 6) + (y – 3)(-1 – 3 ) = 32
 (x + 6)(4) + (y – 3)(-4) = 32
 4x + 24 – 4y + 12 = 32
 4x – 4y + 4 = 0
 x – y + 1 = 0     Jawaban : B


13. Salah satu persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 + 2x – 6y – 10 = 0 yang tegak
    lurus garis terhadap garis x + 2y +1 = 0 adalah ....
A. y = 2x – 14
B. y = 2x – 11
C. y = 2x + 5
D. y = 2x + 9
E. y = 2x + 15

Pembahasan :
•  x + 2y + 1 = 0
   y = -x - 1 / 2
    m1 =-1/m2   , sehingga  m2 = 2
• P ( -  A , -  B ) = ( -½  (2) , -  ½(-6) )
                        = (-1 , 3 )

• y - 3 = m ( x + 1 ) ± r
   y = 2x + 5 ± 2
   y = 2x + 5 ± 2 . 5
   y = 2x+ 5 ± 10   >  y = 2x + 15 dan y = 2x – 5    Jawaban : E