Logika Matematika

Kompetensi Inti :

Memahami, menerapkan, menganalisis, dan mengevaluasi tentang pengetahuan faktual, konseptual, prosedural, dan metakognitif sesuai dengan bidang dan lingkup kajian Matematika pada tingkat teknis, spesifik, detil, dan kompleks, berkenaan dengan ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya, dan humaniora dalam  konteks  pengembangan  potensi  diri  sebagai  bagian  dari  keluarga, sekolah, dunia kerja, warga masyarakat

Kompetensi Dasar:

3.22 Menganalisis masalah kontekstual yang berkaitan dengan logika matematika (pernyataan sederhana, negasi pernyataan sederhana, pernyataan majemuk, negasi pernyataan majemuk dan penarikan kesimpulan)

4.22 Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan logika matematika (pernyataan sederhana, negasi pernyataan sederhana, pernyataan majemuk , negasi pernyataan majemuk dan penarikan kesimpulan )

Gambaran Umum Materi

Pada dasarnya, logika matematika adalah sebuah ilmu yang menggabungkan prinsip ilmu logika dan pembuktian dalam matematika. Dalam materi ini, jelas kekuatan ilmu logika dan ilmu matematika disandingkan dengan seimbang.

Materi logika matematika pertama kali muncul sebagai ilmu independen pada pertengahan abad ke 19. Sebelumnya, materi ini dipelajari melalui ilmu retorika, silogisme, dan sebagai bagian dari ilmu filsafat. Setelahnya, beberapa ilmuwan matematika besar, semisal George Boole, Augustus De Morgan, dan George Peacock mencoba mengembangkan materi ini.

Materi pertama yang akan kamu temui dalam materi logika matematika adalah konjungsi & disjungsi. Konjungsi adalah dua buah penyataan majemuk yang dihubungkan dengan kata hubung “dan”, yang simbolkan dengan lambang “∧”, sedangkan disjungsi adalah dua buah pernyataan majemuk yang dihubungkan dengan kata hubungan “atau”, yang disimbolkan dengan “∨”.

Materi kedua, Implikasi didefinisikan sebagai sebuah konsep kesesuaian. Dalam hal ini, kamu membandingkan dan menyesuaikan dua penyataan sehingga terbentuk sebuah kesimpulan dari kedua pernyataan tersebut. Implikasi memiliki makna ‘jika… maka…’ yang dilambangkan dengan simbol “→”.

Materi ketiga, Biimplikasi merupakan sebuah pernyataan ketika kedua pernyataan memiliki nilai sama-sama benar atau sama-sama salah. Biimplikasi adalah sebuah bentuk penyataan yang bermakna “jika dan hanya jika”. Biimplikasi disimbolkan dengan tanda “↔”.

Selain ketiga materi di atas, kamu juga akan mempelajari mengenai konvers, invers, kontraposisi di dalam logika matematika. Konvers merupakan sebuah pernyataan yang merupakan kebalikan dari implikasi, dimana letak dari pernyataan juga berubah, misalnya p → q menjadi q → p.

Pada dasarnya, logika matematika merupakan sebuah materi yang cukup mudah untuk kamu pahami. Hanya saja, kamu perlu terus berlatih untuk menghafal tabel dan rumus logika matematika, serta menerapkannya dalam contoh soal logika matematika. Semakin kamu giat berlatih, semakin kamu mendapatkan banyak manfaat dalam materi ini.

Daftar Isi:

• Pernyataan
• Ingkaran
• Konjungsi & Disjungsi
• Implikasi
• Biimplikasi
• Konvers, Invers, Kontraposisi
• Penarikan Kesimpulan

Pernyataan

Pada dasarnya, pernyataan merupakan suatu kalimat yang bernilai benar ataupun salah, namun tidak keduanya. Sedangkan, suatu kalimat dikatakan bukan pernyataan jika kita tidak dapat menentukan apakah kalimat tersebut benar atau salah atau mengandung pengertian relatif. Di dalam logika matematika terdapat dua jenis pernyataan, yaitu pernyataan tertutup dan pernyataan terbuka. Pernyataan tertutup merupakan pernyataan yang sudah bisa dipastikan nilai kebenarannya sedangkan pernyataan terbuka yaitu pernyataan yang belum bisa dipastikan nilai kebenarannya.

Contoh:

8 + 2 = 10 (pernyataan tertutup yang bernilai benar)

4 × 6 = 20 (pernyataan tertutup yang bernilai salah)

5a + 10 = 40 (pernyataan terbuka, karena harus dibuktikan kebenarannya)

Jarak Jakarta-Bogor adalah dekat (bukan pernyataan, karena dekat itu relatif)

Ingkaran atau Negasi (~)

Ingkaran dan Negasi adalah kebalikan dari suatu pernyataan, misalnya jika suatu pernyataan bernilai benar, maka negasinya bernilai salah dan begitu pula jika suatu pernyataan bernilai salah maka negasinya bernilai benar

Contoh:

p : Semua murid lulus ujian

~p : Ada murid yang tidak lulus ujian

Pernyataan Majemuk

Pernyataan majemuk merupakan pernyataan gabungan dari beberapa pernyataan tunggal yang dihubungkan dengan kata hubung. Pernyataan majemuk di dalam logika matematika terdiri dari disjungsi , konjungsi , implikasi , dan biimplikasi.

Konjungsi (^)

Konjungsi adalah benar hanya jika kedua pernyataan bernilai benar. Pernyataan akan salah jika salah satu atau keduanya beenilai salah. Dua pernyataan dalam konjungsi digabungkan dengan tanda ” ^ ” yang berarti ” dan “.

Dari tabel disamping dapat disimpulkan bahwa dalam konsep konjungsi akan bernilai benar jika dan hanya jika kedua pernyataan (p dan q) benar

Contoh:

Budi sudah  belajar dan makan

Misalkan, untuk dapat diizinkan bermain oleh Ibu, Budi harus memenuhi kondisi di atas. Jika satu saja atau bahkan kedua pernyataan tersebut dilanggar, maka Budi tidak diizinkan untuk bermain.

Disjungsi (v)

Disjungsi adalah apabila salah satu dari dua pernyataan merupakan benar, maka hasilnya benar. Namun jika keduannya salah, maka pernyataan dianggap salah. Dua pernyataan dalam disjungsi digabungkan dengan tanda ” v ” yang berarti ” atau “. 

Dari tabel disamping dapat disimpulkan bahwa dalam konsep disjungsi hanya akan bernilai salah jika kedua pernyataan (p dan q) salah.

Contoh:

Bandung atau Palembang adalah kota yang terletak di Pulau Jawa

Pernyataan Bandung adalah kota yang terletak di Pulau Jawa adalah benar. Pernyataan Palembang adalah kota yang terletak di Pulau Jawa adalah salah. Sehingga pernyataan Bandung atau Palembang adalah kota yang terletak di Pulau Jawa bernilai benar.

Implikasi (=>)

Implikasi adalah konsep penyesuaian yang hanya dinyatakan salah jika pernyataan pertama benar dan pernyataan kedua salah. Dua pernyataan dalam implikasi digabungkan dengan tanda ” => ” yang berarti ” maka “.

Dari tabel disamping  dapat disimpulkan bahwa dalam konsep implikasi akan bernilai salah jika dan hanya jika sebab bernilai benar namun akibat bernilai salah. Selain itu implikasi bernilai benar.

Contoh:

Jika Budi sembuh maka Budi akan sekolah

Jika betul Budi sembuh lalu Budi masuk sekolah, Budi telah melakukan hal yang benar. Namun jika Budi sembuh namun dia tidak masuk sekolah, Budi telah berbuat salah karena mengingkari janjinya. Lalu, bagaimana jika Budi belum sembuh? Perhatikan bahwa Budi hanya berjanji masuk sekolah jika dia sembuh. Akibatnya jika dia masih belum sembuh, tidak masalah bagi Budi untuk masuk sekolah ataupun tidak karena dia tidak melanggar janjinya.

Biimplikasi (<==>)

Biimplikasi adalah pernyataan yang hanya akan menyatakan benar apabila kedua pernyataan bernilai sama,baik benar maupun salah. Maksudnya adalah pernyataan dianggap benar jika keduanya sama-sama salah ataupun sama-sama benar. Dua penyataan dalam biimplikasi digabungkan dengan tanda ” <==> ” yang berarti ” hanya jika “.

Dari tabel disamping dapat disimpulkan bahwa dalam konsep biimplikasi akan bernilai benar jika sebab dan akibatnya (pernyataan p dan q) bernilai sama. Baik itu sama-sama benar, atau sama-sama salah.

Contoh:

Ayah mendapatkan gaji jika dan hanya jika ayah bekerja

Jika ayah mendapatkan gaji maka ayah bekerja dan jika ayah telah bekerja maka ayah akan mendapat gaji. Sebalinya, jika ayah tidak mendapatkan gaji maka ayah sedang tidak bekerja dan jika ayah tidak bekerja maka ayah tidak akan mendapat gaji. 

Konvers, Invers, Kontraposisi

Setiap manusia pasti berpikir menggunakan logika, sehingga saat menghadapi persoalan apapun dapat dengan mudah menemukan jalan keluarnya. Tapi tahukah kamu, logika itu bekerja secara matematis?  Ada lho rumus-rumusnya dalam ilmu matematika. 

Konvers , Invers & Kontraposisi ketiganya dapat mengubah pernyataan implikasi, yaitu pernyataan majemuk dengan kata hubung "jika..., maka...". 

1. Konvers

Konvers merupakan kebalikan dari pernyataan implikasi. Rumusnya seperti disamping ini: 

Contoh kasus:

Implikasi: Jika Aura rajin baca buku, maka Aura cerdas.

Konvers: Jika Aura cerdas, maka Aura rajin baca buku.

Jadi, kalau orang tua kita bilang “Nak, kamu harus rajin baca buku biar kamu cerdas.” Berarti logikanya, orang tua kita ingin kita jadi anak yang cerdas, maka disuruh rajin baca buku. 

2. Invers

Invers merupakan negasi dari pernyataan implikasi. Rumusnya nampak disamping

Contoh kasus:

Implikasi: Jika Aura rajin baca buku, maka Aura cerdas.

Invers: Jika Aura tidak rajin baca buku, maka Aura tidak cerdas.

Paham kan perbedaan invers dengan konvers? Jadi, invers itu adalah logika yang menegasikan sebuah pernyataan implikasi. 

3. Kontraposisi

Kontraposisi merupakan kebalikan dan negasi dari pernyataan implikasi. berikut rumusnya: 

Contoh Kasus:

Implikasi: Jika Aura rajin baca buku, maka Aura cerdas.

Kontraposisi: Jika Aura tidak cerdas, maka Aura tidak rajin baca buku.

Paham kan ya, kalau kontraposisi itu gabungan antara konvers dan invers. Jadi, pernyataan majemuknya kita balik lalu dinegasikan. Mudah, bukan?

Penarikan Kesimpulan

Belajar Menarik Kesimpulan dengan Logika Matematika 

Menarik kesimpulan juga harus menggunakan logika, biar kesimpulan yang kamu ambil tepat. Logika sendiri merupakan cabang ilmu filsafat yang berarti hasil pertimbangan akal pikiran yang diutarakan lewat kata dan dinyatakan dalam bahasa. Dalam logika kita perlu melakukan proses penalaran yang ditinjau dari segi ketepatannya. Ada beberapa cara untuk menarik kesimpulan dengan logika matematika;

Modus Ponens

Modus ponens ditandai dengan adanya pernyataan majemuk implikasi dan pernyataan tunggal.      

         

Modus Tollens

Modus tollens ditandai dengan adanya pernyataan majemuk implikasi dan ingkaran dari pernyataan tunggal.

Modus Silogisme

Modus silogisme ditandai dengan adanya dua pernyataan majemuk implikasi.

Masih belum paham bagaimana menarik kesimpulan dengan logika matematika? 

Latihan

Premis 1: Jika semua harta benda Andi terbawa banjir, maka ia menderita.

Premis 2: Andi tidak menderita.

Kesimpulan yang sah dari premis-premis tersebut adalah…

A. Semua harta benda Andi tidak terbawa banjir.

B. Ada harta benda Andi yang terbawa banjir.

C. Semua harta benda Andi terbawa banjir.

D. Ada harta benda Andi yang tidak terbawa banjir.

E. Tidak ada banjir.

Pembahasan:

Dengan menggunakan modus tollen.

Premis 1: p => q

Premis 2: ~q

Konklusi: ~p

Jawaban: ~p = ada harta benda Andi yang tidak terbawa banjir (D).

Daftar Referensi:

• referensi 1
• referensi 2