DILATASI

 

Rumus Dilatasi Matematika & Contoh Soal

Istilah dilatasi dapat memiliki makna pengembangan, pemuaian, pembesaran, atau perkalian.

Konsep dan Pengertian Dilatasi 

Transformasi adalah perubahan dan geometri adalah ilmu ukur atau cabang ilmu matematika yang membahas tentang garis, sudut, bidang, dan ruang. Jadi, dapat disimpulkan transformasi geometri ini membahas proses penentuan titik-titik baru dari suatu bangun.

Dilatasi itu dapat berarti transformasi yang mengubah suatu ukuran (memperbesar/memperkecil) suatu bangun geometri tanpa merubah bentuk bangunnya.

Jadi tergantung dilatasinya, bisa membesar 2 kali lipat, atau 3 kali lipat dan seterusnya.

Rumus Dilatasi

Pada contoh soal dilatasi biasanya diketahui titik pusatnya, kemudian titik (x,y) dan dilatasinya yang dilambangkan dengan nilai K.

Rumus dilatasi cukup mudah karena hanya mengalikan angka pada x dan y dengan nilai K.

(x, y) → (xˡ, yˡ) = (Kx, Ky)

Misalnya, sebuah segitiga dengan titik A berada di (2, 4), titik B berada di (2, 2), dan titik C berada di (4, 2).  Segitiga tersebut akan mengalami pembesaran atau dilatasi sebesar dua kali lipatnya (K = 2). Di mana letak titik-titiknya jika segitiga itu mengalami dilatasi dua kali lipat?

Rumus dan cara menjawabnya adalah sebagai berikut;

A (2, 4) → Aˡ (4, 8)

B (2, 2) → Bˡ (4, 4)

C (4, 2) → Cˡ (8, 4)

Semua angka baik x maupun y akan dikalikan dengan K = 2. 

Berikut adalah visualisasi dari contoh tersebut.

Cukup mudah kan? Dengan gambar di atas semoga dapat langsung mengerti dengan apa yang telah disampaikan.

Bagaimana jika titik pusatnya tidak berada pada titik 0 atau (0, 0)?
Bagaimana jika titik pusatnya berada di (A, B)

Rumus Dilatasi dengan Faktor Skala K dan Pusat (A, B)

Jika titik pusatnya tidak berada pada titik (0, 0) atau titik pusatnya berada di (A, B), rumus dilatasi akan ditemukan dengan cara berikut, 

K(x – a) = xˡ – a   →  xˡ = K(x – a) + a

K(y – b) = yˡ – b  →  yˡ = K(y – b) + b

(x, y) → (xˡ, yˡ) = (K(x – a) + a, K(y – b) + b)

Jadi, rumus faktor skala dilatasi dengan skala K dan pusat (A, B) adalah seperti yang tercantum di atas. 
--------------------------------------------------------------------------------------------

Contoh 1:

Titik A (1, 2) akan dilatasi sebesar tiga kali dengan pusat (-5, 1), tentukan letak titik Aˡ!

Jawab:

(x, y) → (xˡ, yˡ) = (K(x – a) + a, K(y – b) + b) [Konsep]

(1, 2) → (xˡ, yˡ) = (3(1 – (-5)) + (-5), 3(2 – 1) + 1)

(1, 2) → (xˡ, yˡ) = (13, 4)

Contoh 2:

Tentukan bayangan kurva y = x² – 6x + 5  jika di dilatasi dengan faktor skala 3 dan pusat (0,0)

Jawab:

x’ = 3x → x = 1/3 x’

y’ = 3y → y = 1/3 y’

Kemudian nilainya disubstitusikan ke persamaan y = x² – 6x + 5
maka hasilnya menjadi:

1/3 y’ = (1/3 x’)² – 6(1/3x’) + 5

1/3 y’ = 1/9( x’)² – 2x’ + 5  (Semua ruas dikalikan dengan 3)

y’ = 1/3(x’)² – 6x’ + 15

Jadi persamaannya akan menjadi y = 1/3(x²) – 6x +15

Kurva sebelum & sesudah dilatasi

------------------------------------------------------------------------------------------------

Mengasah Logika  - Latihan

1. Diketahui sebuah bangun segitiga dengan titik sudut pada koordinat sebagai berikut: A(2,3),  B(7,1) dan C(-2,-5). Bangun tersebut kemudian didilatasi dengan faktor skala 3 terhadap pusat M(1,3).
Tentukan:

• koordinat bayangannya
• sketsa letak titik ABC dan A'B'C' pada koordinat kartesius.
  

Kunci:
koordinat bayangannya
A’ (4,3)

B’ (19, -3)

C’ (-8, -21)
------------------------------------------------------------------------------------------------

Sumber, Zenius